Rozdział 13 Szeregi czasowe i indeksy
13.1 Szeregi czasowe
Szereg czasowy to ciąg obserwacji zmiennej rejestrowanych w kolejnych okresach:
\[\{x_t\}_{t=1}^T = x_1, x_2, \dots, x_T\]
Przykłady: roczny PKB, miesięczne stopy bezrobocia, dzienne ceny akcji czy roczne średnie ceny biletów do kina.
Analiza szeregów czasowych koncentruje się na: kierunku i tempie zmian zmiennej oraz porównaniach jej wartości w czasie.
13.1.1 Strumienie i zasoby
Wiele ekonomicznych szeregów czasowych można podzielić na zasoby i strumienie:
- Zmienne o charakterze zasobów mierzone są w określonym, punktowym, momencie czasu.
Przykłady: liczba ludności 31 grudnia, podaż pieniądza na koniec roku, poziom zapasów.
- Zmienne o charakterze strumieni mierzone są w pewnym okresie czasu.
Przykłady: roczny dochód, miesięczny eksport, kwartalny PKB.
Podział na zasoby i strumienie jest fundamentalny, ale nie uniwersalny. Wiele ważnych szeregów czasowych — takich jak ceny, stopy, wskaźniki czy indeksy — nie należy jednoznacznie do żadnej z tych kategorii.
13.2 Przyrosty absolutne i względne
Niech \(x_0\) oznacza wartość zmiennej w okresie bazowym, a \(x_t\) jej wartość w okresie \(t\).
13.2.1 Przyrost absolutny
Przyrost absolutny to:
\[\Delta x = x_t - x_0 \tag{13.1}\]
Mierzy zmianę w jednostkach oryginalnych (np. PLN, euro, liczba gitar).
13.2.2 Przyrost względny (tempo zmian)
Przyrosty względne wyrażają zmianę względem poziomu początkowego:
\[g = \frac{x_t - x_0}{x_0} \tag{13.2}\]
Często wyrażane są w procentach:
\[g(\%) = \frac{x_t - x_0}{x_0} \cdot 100\% \tag{13.3}\]
Miary względne są kluczowe przy porównywaniu zmian zmiennych o różnych jednostkach.
13.3 Metoda indeksowa
Indeks wyraża poziom zmiennej w okresie \(t\) względem wybranego okresu bazowego \(b\), zwykle znormalizowanego do 100.
Dla prostego indeksu:
\[I_{t/b} = \frac{x_t}{x_b} \cdot 100 \tag{13.4}\]
Interpretacja
- \(I = 100\): brak zmiany względem okresu bazowego,
- \(I > 100\): wzrost względem okresu bazowego,
- \(I < 100\): spadek.
13.3.1 Indeks jednopodstawowy
A Indeks jednopodstawowy (ang. fixed base) zawsze porównuje okres \(t\) do tego samego okresu bazowego, zwykle oznaczanego jako \(0\):
\[I^{FB}_t = \frac{x_t}{x_0} \cdot 100 \tag{13.5}\]
Zalety:
- łatwa interpretacja,
- bezpośrednia porównywalność z rokiem bazowym.
Wada:
- okres bazowy może się z czasem dezaktualizować.
13.3.2 Indeks łańcuchowy
Indeks łańcuchowy (ang. chain index) porównuje każdy okres tylko do poprzedniego:
\[I^{CH}_n = \frac{x_t}{x_{t-1}} \cdot 100 \tag{13.6}\]
Indeks jednopodstawowy z bazą w okresie \(0\) można odtworzyć, łącząc kolejne indeksy łańcuchowe. Otrzymujemy:
\[I^{FB}_t = \prod_{i=1}^{t}\left(\frac{I^{CH}_i}{100}\right) \cdot 100 \tag{13.7}\]
Indeksy łańcuchowe są wygodne, ale wymagają ostrożności przy analizie długookresowej, ponieważ efekt całkowity wynika z iloczynu kolejnych zmian.
13.4 Średnie tempo zmian
Kiedy zmienna obserwowana jest wielu kolejnych okresach, często szukamy jednej średniej stopy wzrostu, która podsumuje cały proces. Standardową miarą jest wykorzystywaną w takiej sytuacji jest skumulowany roczny wskaźnik wzrostu (ang. Compound Annual Growth Rate (CAGR)) — lub jego odpowiednik dla okresów innych niż roczne.
Kluczowa idea stojąca za koncepcją CAGR polega na zastąpieniu ciągu przyrostów względnych jedną stałą stopą, która prowadzi do tego samego ostatecznego efektu.
Niech \(x_0\) będzie wartością początkową, \(x_n\) wartością końcową, a \(n\) liczbą okresów.
Skumulowany roczny wskaźnik wzrostu:
\[\text{CAGR} = \left( \frac{x_n}{x_0} \right)^{\frac{1}{n}} - 1 \tag{13.8}\]
W procentach:
\[\text{CAGR}(\%) = \left[ \left( \frac{x_n}{x_0} \right)^{\frac{1}{n}} - 1 \right] \cdot 100\% \tag{13.9}\]
Miara ta uwzględnia kapitalizację i jest preferowana względem średnich arytmetycznych stóp wzrostu.
13.5 Indeksy agregatowe cen
Przy analizie wielu dóbr ceny i ilości muszą być agregowane przy użyciu wag.
Niech:
- \(p_t\) oznacza wektor cen w okresie \(t\), zaś
- \(q_t\) – wektor ilości w okresie \(t\)
13.5.1 Indeks Laspeyresa
Indeks cen Laspeyresa wykorzystuje ilości z okresu bazowego jako wagi:
\[I_L = \frac{\sum p_t q_0}{\sum p_0 q_0}\cdot 100, \tag{13.10}\]
- Indeks mierzy, o ile więcej (lub mniej) kosztowałby w okresie \(t\) koszyk z okresu bazowego.
- Index ma tendencję do zawyżania inflacji, ponieważ ignoruje efekt substytucji
13.5.2 Indeks Paaschego
Indeks cen Paaschego wykorzystuje ilości z okresu bieżącego jako wagi:
\[I_P = \frac{\sum p_t q_t}{\sum p_0 q_t}\cdot 100 \tag{13.11}\]
Interpretacja:
- odzwierciedla aktualne wzorce konsumpcji,
- ma tendencję do zaniżania inflacji, ze względu na substytucję w kierunku tańszych dóbr.
13.6 Zadania
Zadanie 13.1 Poniższa tabela przedstawia dynamikę cen w San Escobar. Na podstawie danych oblicz indeks jednopodstawowy dla roku 2019.
| Rok | Indeks łańcuchowy | Indeks jednopodstawowy (2017 = 100) |
|---|---|---|
| 2017 | 110 | 100 |
| 2018 | 120 | 120 |
| 2019 | 110 |
Zadanie 13.2 Poniższa tabela przedstawia ceny na koniec roku dla funduszu X oraz obliczone na ich podstawie indeksy.
Uzupełnij brakujące ceny, indeksy jednopodstawowe i łańcuchowe, a następnie oblicz CAGR dla wybranych okresów.
Załóż, że [2017] = 100 dla indeksu jednopodstawowego. Wszystkie ceny są liczbami całkowitymi.
| 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| cena | 1695 | 1637 | |||||
| indeks jednopodst. | 103,26 | 129,02 | |||||
| indeks łańcuchowy | 129,09 | 108,61 | 115,36 |
Oblicz CAGR:
między końcem 2015 a końcem 2020: %.
między końcem 2014 a końcem 2020: %.
między końcem 2014 a końcem 2021: %.
Zadanie 13.3 Według strony internetowej Gapminder liczba gitar na milion mieszkańców Ziemi wzrosła z dwustu gitar na milion w 1962 roku do 11 tysięcy gitar w 2014 roku. Ile wynosiło średnie roczne tempo zmian?
Zadanie 13.4 Znajdź w Banku Danych Lokalnych GUS informacje o przeciętnej cenie biletu:
do kina
do teatru
w poszczególnych latach. Ile wynosiło średnie roczne tempo zmian w okresie, za który dostępne są dane?
Zadanie 13.5
Ceny rosną o 20% w 2024 r., a następnie spadają o 20% w 2025 r. Ile wynosi CAGR? %
Ceny rosną o 20%, a w kolejnym roku spadają o 25%. Ile wynosi CAGR? %
Ceny rosną o 25%, a w kolejnym roku spadają o 20%. Ile wynosi CAGR? %
Zadanie 13.6 Traktuj koszyk z tabeli jako koszyk konsumpcyjny studenta. Oblicz indeksy Laspeyresa, Paaschego i Fishera dla roku 2025 (2015 = 100) oraz zinterpretuj je jako miary inflacji studenckiej.
| produkt | cena w 2015 | cena w 2025 | ilość w 2015 | ilość w 2025 |
|---|---|---|---|---|
| Cheeseburger | 3,0 | 6,0 | 5 | 6 |
| Pączek | 1,5 | 3,5 | 6 | 6 |
| Frytki | 4,0 | 9,0 | 3 | 2 |
| Lody | 2,5 | 7,5 | 4 | 2 |
| Cola | 3,0 | 5,0 | 7 | 8 |