Rozdział 14 Trend i wahania sezonowe
Szeregi czasowe danych ekonomicznych i społecznych często odznaczają się systematycznymi wzorcami towarzyszącymi czysto losowej zmienności. Dwa najważniejsze rodzaje wzorców systematycznych to długoterminowe trendy i fluktuacje sezonowe. Identyfikacja i wydzielenie tych komponentów pomaga w interpretacji, porównywaniu i prognozowaniu szeregów czasowych.
14.1 Składowe szeregu czasowego
Typowy szereg czasowy \(y_t\) może zostać zdekomponowany na składowe:
- Trend (\(T_t\)) – długookresowy kierunek zmian
- Składowa sezonowa (\(S_t\)) – regularne fluktuacje związane z okresami kalendarzowymi
- Składowa nieregularna (\(I_t\)) – zmienność losowa i niesystematyczna
Przykład
Wykorzystamy miesięczne dane o zgonach z niderlandzkiego urzędu statystycznego. Na rysunku 14.1 można zaobserwować zarówno trend, jak i roczną sezonowowość (umieralność jest większa w miesiącach zimowych niż np. w lecie).
Rysunek 14.1: Miesięczna liczba zgonów w Niderlandach w latach 2009–2024. Źródło: Statistics Netherlands (https://opendata.cbs.nl/#/CBS/en/dataset/83474ENG/table?dl=24F05)
Dekomponujemy szereg czasowy na trend, składową sezonową i składową nieregularną. Wykorzystamy funkcję stl() z pakietu stats w R. Wyniki przedstawiono na Rys. 14.2.
Rysunek 14.2: Miesięczna liczba zgonów w Niderlandach w latach 2009–2024. Próba dekompozycji z wykorzystaniem funkcji stl() z pakietu w R.
14.3 Liniowy model trendu
Najprostszym modelem trendu jest model liniowy:
\[y_t = \alpha + \beta t + \varepsilon_t\]
W powyższym wzorze:
- \(\alpha\) to wyraz wolny,
- \(\beta\) wyraża przeciętny przyrost absolutny w pojedynczym okresie.
Interpretacja:
- \(\beta > 0\): trend rosnący
- \(\beta < 0\): trend malejący
Model liniowy jest prosty w wykorzystaniu, estymacji i intepretacji, jednak może nadmiernie upraszczać tendencję w długim horyzoncie.